Prepara Calcolo delle Probabilità e Statistica velocemente e supera l'esame
Tutto il programma in 268 pagine, spiegato con schemi ed esempi. Ti arriva in PDF via email e inizi a studiare subito.
268 pagine
20 capitoli
PDF via email
Ecco le vere pagine del nostro manuale: Tutto il programma spiegato, semplificato e schematizzato
Copertina
Trascina l'angolo della pagina, o usa le frecce
Chi ha già preso il manuale ci racconta questo:
Scorri per leggerli · tocca per ingrandire
Un modo più semplice di organizzare lo studio.
Quando studi da un manuale tradizionale, spesso devi trovare le informazioni, capire quali sono davvero importanti e creare da solo collegamenti e schemi. SmarterFe parte da lì e organizza già il materiale in modo visuale.
Argomento: Variabili aleatorie discrete
Le nostre DispenseSmarterFe
Il manuale tradizionaleTradizionale
Trascina per confrontare
Materiale tradizionale
Testo da leggere e organizzare
Informazioni dense
Collegamenti da costruire
Concetti da trasformare in schemi
Informazioni visive limitate
SmarterFe
Color Code
Due colonne
Immagini
Schemi
Informazioni organizzate visivamente
Perché una pagina SmarterFE è fatta proprio così
Quando studi una materia universitaria, il problema spesso non è la quantità di informazioni che devi imparare.
È riuscire a dare un ordine a tutte quelle informazioni.
Capire quali concetti sono collegati, distinguere una definizione da un dettaglio, ricordare una classificazione, confrontare due elementi, ricostruire un processo.
Ed è proprio qui che abbiamo scelto di intervenire.
I Manuali SmarterFE sono progettati partendo da un principio:
la forma con cui una materia viene presentata può influenzare il modo in cui viene elaborata.Non è solo una questione di estetica. È progettazione dello studio.
01
Prima di tutto: rendere la materia leggibile
Una pagina piena di informazioni richiede allo studente di fare continuamente un lavoro aggiuntivo: capire dove iniziare, cosa è importante, quali elementi sono collegati e come orientarsi tra le diverse parti del contenuto.
Per questo nei nostri Manuali costruiamo una gerarchia precisa. Titoli, definizioni, parole chiave, schemi, tabelle e approfondimenti hanno ciascuno il proprio posto.
Quando apri una pagina, devi poter capire immediatamente come leggerla.
02
La semplicità è una scelta progettuale
Una spiegazione può essere rigorosa e, allo stesso tempo, essere scritta in modo chiaro. È questa la strada che seguiamo.
Manteniamo i concetti e la terminologia necessari per affrontare una materia universitaria, ma lavoriamo sulla loro esposizione: frasi più dirette, spiegazioni progressive, definizioni riconoscibili e collegamenti espliciti.
La materia rimane complessa. La sua spiegazione diventa più accessibile.
03
Il colore ti dice dove guardare
Hai presente quando apri una pagina e tutto sembra avere la stessa importanza? Il titolo, la definizione, il dettaglio, l’esempio.
Il nostro color code nasce per evitare proprio questo: usiamo il colore in modo coerente per rendere riconoscibili le categorie di informazioni.
Il colore, quindi, non è lì per decorare la pagina. Ti aiuta a leggerla.
04
Quando una tabella spiega meglio, usiamo una tabella.
Confrontare due concetti in un testo significa spesso dover passare avanti e indietro tra le informazioni. Affiancarli in una tabella significa poter vedere immediatamente cosa hanno in comune, cosa li distingue e come sono organizzati.
Lo stesso vale per schemi e rappresentazioni visive: non scegliamo la forma in base a un modello fisso.
Scegliamo la forma che rende più chiara quell’informazione.
05
E quando torni a studiare, ritrovi la materia.
Un Manuale deve essere utile anche al secondo giro, al terzo e durante il ripasso. Una struttura coerente permette di ritrovare più facilmente gli argomenti e ricostruire i collegamenti tra loro.
Per questo pensiamo ai nostri Manuali come a qualcosa che accompagna l’intero percorso di studio, dalla comprensione al ripasso.
In pratica, cosa cambia?
Prendi una materia universitaria.
01Noi la analizziamo.
02Ne individuiamo la struttura.
03Rendiamo più chiara la spiegazione.
04Organizziamo le informazioni.
05Scegliamo per ogni contenuto la forma più adatta.
06Costruiamo una logica visiva coerente.
Il risultato è una materia che puoi affrontare con un riferimento più ordinato davanti agli occhi.
Questa è l’idea alla base di SmarterFE.Non aggiungere complessità allo studio. Dare alla materia una struttura che abbia senso.
LinguaggioFrasi dirette e definizioni riconoscibili, senza perdere i termini che ti servono all’esame.
02
GerarchiaTitoli e sezioni ti dicono subito da dove partire e come leggere la pagina.
03
Color codeLo stesso colore segna sempre lo stesso tipo di informazione.
04
TabellaQuando c’è da confrontare, i concetti stanno uno accanto all’altro.
05
Rappresentazione visivaSchemi e disegni affiancano le parole dove aiutano a capire.
06
SintesiIl punto da fissare, isolato e pronto per il ripasso.
Aggiornato a ottobre 2026
Ogni dato del manuale è verificato sulle fonti ufficiali — IUPAC, NIST, Farmacopea Europea e letteratura scientifica internazionale: costanti, formule, nomenclatura, classificazioni ed esempi numerici. Studi la disciplina in vigore oggi, quella che chiedono all'esame.
Quando una riforma cambia il programma aggiorniamo il manuale, e chi l'ha già acquistato riceve la nuova versione via email: è inclusa nel prezzo.
Per chi è questo manuale
Agraria
Biologia
Economia
Fisica
Informatica
Ing. Gestionale
Ing. Informatica
Matematica
Medicina
Ecco il programma del tuo esame
01
Spazi di probabilità e calcolo combinatorioMonotonia della probabilità, Probabilità dell'evento complementare, Probabilità dell'unione di eventi8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Monotonia della probabilità
Probabilità dell'evento complementare
Probabilità dell'unione di eventi
Spazi campionari equiprobabili
Problema del compleanno
Estrazioni senza reinserimento
Estrazioni con reinserimento
Soluzioni intere di equazioni
02
Probabilità condizionata e teorema di BayesAggiornamento bayesiano delle probabilità, Test diagnostico e falsi positivi, Albero delle probabilità condizionate8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Aggiornamento bayesiano delle probabilità
Test diagnostico e falsi positivi
Albero delle probabilità condizionate
Indipendenza a coppie senza indipendenza collettiva
Probabilità condizionata come probabilità a sé stante
Esempio diagnostico con il teorema di Bayes
Differenza tra P(A dato B) e P(B dato A)
Paradosso del test raro
03
Variabili aleatorie discreteCostruzione di una variabile aleatoria da un esperimento concreto, Calcolo di probabilità da una funzione di probabilità assegnata, Calcolo di probabilità da una funzione di ripartizione assegnata8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Costruzione di una variabile aleatoria da un esperimento concreto
Calcolo di probabilità da una funzione di probabilità assegnata
Calcolo di probabilità da una funzione di ripartizione assegnata
Relazione tra funzione di probabilità e funzione di ripartizione
Variabile aleatoria come funzione misurabile sullo spazio campionario
Esempio svolto passo-passo sul lancio di due dadi
Esempio svolto passo-passo sull'estrazione di palline da un'urna
Esempio svolto passo-passo sul numero di teste in tre lanci di moneta
04
Variabili aleatorie continueDifferenza concettuale tra funzione di probabilità e densità, Calcolo di probabilità come area sotto la curva, Calcolo del quantile di una distribuzione assegnata8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Differenza concettuale tra funzione di probabilità e densità
Calcolo di probabilità come area sotto la curva
Calcolo del quantile di una distribuzione assegnata
Verifica della condizione di normalizzazione
Relazione tra densità e funzione di ripartizione tramite derivata e integrale
Esempio svolto con densità triangolare
Esempio svolto con densità uniforme
Esempio svolto con densità esponenziale
05
Valore atteso, varianza e momentiValore atteso come sintesi della distribuzione, Proprietà di linearità del valore atteso, Calcolo della varianza tramite la differenza tra momento secondo e quadrato della media8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Valore atteso come sintesi della distribuzione
Proprietà di linearità del valore atteso
Calcolo della varianza tramite la differenza tra momento secondo e quadrato della media
Uso della disuguaglianza di Chebyshev per limitare le code
Momenti di ordine superiore al secondo
Interpretazione dell'asimmetria positiva e negativa
Interpretazione della curtosi rispetto alla distribuzione normale
Esempio numerico su una distribuzione discreta
06
Distribuzioni discrete notevoliMedia e varianza della Binomiale, Media e varianza della Poisson, Media e varianza della Geometrica8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Media e varianza della Binomiale
Media e varianza della Poisson
Media e varianza della Geometrica
Media e varianza dell'Ipergeometrica
Condizioni di applicabilità della Binomiale
Condizioni di applicabilità dell'Ipergeometrica
Approssimazione Binomiale-Poisson
Differenza tra Geometrica e Binomiale negativa
07
Distribuzioni continue notevoliRelazione tra Esponenziale e processo di Poisson, Standardizzazione di una variabile Normale, Lettura delle tavole della Normale standard8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Relazione tra Esponenziale e processo di Poisson
Standardizzazione di una variabile Normale
Lettura delle tavole della Normale standard
Relazione tra Chi-quadro e somma di normali standard al quadrato
Relazione tra t di Student e rapporto tra Normale e Chi-quadro
Relazione tra F di Fisher e rapporto di due Chi-quadro
Ruolo delle distribuzioni derivate nell'inferenza successiva
Esempio applicativo con la distribuzione Esponenziale
08
Vettori aleatori e distribuzioni congiunteCostruzione della distribuzione marginale a partire dalla congiunta, Verifica dell'indipendenza tra due variabili aleatorie, Calcolo di probabilità congiunte da una tabella8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Costruzione della distribuzione marginale a partire dalla congiunta
Verifica dell'indipendenza tra due variabili aleatorie
Calcolo di probabilità congiunte da una tabella
Calcolo di probabilità congiunte da una densità bivariata
Distribuzione condizionata di una variabile data l'altra
Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie
Esempio con tabella congiunta discreta
Esempio con densità congiunta continua
09
Covarianza e correlazioneCalcolo della covarianza tra due variabili aleatorie, Interpretazione del segno della covarianza, Limiti del coefficiente di correlazione tra meno uno e uno8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Calcolo della covarianza tra due variabili aleatorie
Interpretazione del segno della covarianza
Limiti del coefficiente di correlazione tra meno uno e uno
Varianza di una somma di variabili dipendenti
Varianza di una somma di variabili indipendenti
Esempio applicativo su un portafoglio di titoli
Esempio applicativo su misure ripetute
Correlazione nulla senza indipendenza
10
Trasformazioni di variabili aleatorieDistribuzione di una funzione di una variabile aleatoria tramite la funzione di ripartizione, Distribuzione di una funzione di più variabili aleatorie tramite lo Jacobiano, Somma di due variabili indipendenti tramite convoluzione8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Distribuzione di una funzione di una variabile aleatoria tramite la funzione di ripartizione
Distribuzione di una funzione di più variabili aleatorie tramite lo Jacobiano
Somma di due variabili indipendenti tramite convoluzione
Esempio di trasformazione lineare Y uguale aX più b
Esempio di trasformazione quadratica Y uguale X al quadrato
Distribuzione della somma di due uniformi tramite convoluzione
Condizioni di invertibilità della trasformazione
Distribuzione della somma di due variabili uniformi risolta passo-passo
11
Funzione generatrice e funzione caratteristicaUso della funzione generatrice per ricavare la media, Uso della funzione generatrice per ricavare la varianza, Dimostrazione della distribuzione della somma di variabili di Poisson indipendenti8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Uso della funzione generatrice per ricavare la media
Uso della funzione generatrice per ricavare la varianza
Dimostrazione della distribuzione della somma di variabili di Poisson indipendenti
Dimostrazione della distribuzione della somma di variabili Normali indipendenti
Funzione generatrice del prodotto di variabili indipendenti
Esistenza e dominio di convergenza della funzione generatrice
Funzione caratteristica come alternativa sempre esistente alla funzione generatrice
Esempio di calcolo della funzione generatrice di una Bernoulli
12
Leggi dei grandi numeri e teorema del limite centraleIntuizione del teorema del limite centrale, Condizioni di applicabilità del teorema del limite centrale, Uso pratico del teorema del limite centrale per approssimare la distribuzione di una somma8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Intuizione del teorema del limite centrale
Condizioni di applicabilità del teorema del limite centrale
Uso pratico del teorema del limite centrale per approssimare la distribuzione di una somma
Uso pratico del teorema del limite centrale per approssimare la distribuzione di una media campionaria
Esempio numerico di approssimazione normale di una somma di dadi
Esempio numerico di approssimazione normale di una proporzione
Differenza tra legge debole e legge forte
Dimensione campionaria e velocità di convergenza
13
Catene di MarkovCostruzione della matrice di transizione da un problema concreto, Classificazione degli stati di una catena, Calcolo della distribuzione stazionaria8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Costruzione della matrice di transizione da un problema concreto
Classificazione degli stati di una catena
Calcolo della distribuzione stazionaria
Convergenza alla distribuzione stazionaria
Esempio applicativo in un modello epidemiologico semplice
Catene assorbenti e probabilità di assorbimento
Condizione di irriducibilità e aperiodicità per la convergenza
Interpretazione della matrice di transizione come grafo pesato
14
Statistica descrittivaScelta dell'indice di posizione più adatto ai dati, Lettura critica di un istogramma, Lettura critica di un boxplot8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Scelta dell'indice di posizione più adatto ai dati
Lettura critica di un istogramma
Lettura critica di un boxplot
Effetto degli outlier sulla media rispetto alla mediana
Costruzione di una tabella di frequenza da dati grezzi
Confronto tra indici di dispersione
Interpretazione di un diagramma a dispersione per una relazione tra variabili
Calcolo dei quartili con numerosità pari e dispari
15
Campionamento e distribuzioni campionarieDistribuzione della media campionaria da popolazione normale, Distribuzione della varianza campionaria tramite la Chi-quadro, Distribuzione t di Student come distribuzione campionaria derivata8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Distribuzione della media campionaria da popolazione normale
Distribuzione della varianza campionaria tramite la Chi-quadro
Distribuzione t di Student come distribuzione campionaria derivata
Distribuzione F di Fisher come distribuzione campionaria derivata
Indipendenza tra media e varianza campionaria nel caso normale
Effetto della dimensione del campione sulla variabilità della media campionaria
Campionamento senza reinserimento da popolazione finita
Esempio numerico di distribuzione campionaria
16
Stima puntuale e proprietà degli stimatoriStima dei parametri con il metodo dei momenti, Stima dei parametri con la massima verosimiglianza, Esempio svolto di stima di massima verosimiglianza per la Bernoulli8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Stima dei parametri con il metodo dei momenti
Stima dei parametri con la massima verosimiglianza
Esempio svolto di stima di massima verosimiglianza per la Bernoulli
Esempio svolto di stima di massima verosimiglianza per la Normale
Proprietà di non distorsione di uno stimatore
Proprietà di efficienza tra stimatori non distorti
Proprietà di consistenza al crescere della numerosità
Scomposizione dell'errore quadratico medio in varianza e distorsione al quadrato
17
Intervalli di confidenzaCostruzione dell'intervallo di confidenza per la media con varianza nota, Costruzione dell'intervallo di confidenza per la media con varianza ignota, Costruzione dell'intervallo di confidenza per una proporzione8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Costruzione dell'intervallo di confidenza per la media con varianza nota
Costruzione dell'intervallo di confidenza per la media con varianza ignota
Costruzione dell'intervallo di confidenza per una proporzione
Interpretazione corretta del livello di confidenza
Errore interpretativo comune sul livello di confidenza
Dimensionamento del campione per una precisione desiderata
Relazione tra ampiezza dell'intervallo e numerosità campionaria
Effetto del livello di confidenza sull'ampiezza dell'intervallo
18
Test d'ipotesi parametriciLogica del test d'ipotesi, Scelta tra test a una coda e test a due code, Calcolo e interpretazione corretta del p-value8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Logica del test d'ipotesi
Scelta tra test a una coda e test a due code
Calcolo e interpretazione corretta del p-value
Relazione tra intervallo di confidenza e test d'ipotesi
Confronto tra due medie a varianze note
Confronto tra due medie a varianze ignote
Test sulla varianza di una popolazione normale
Errore comune nell'interpretare il p-value come probabilità dell'ipotesi nulla
19
Regressione lineare e correlazioneDerivazione degli stimatori dei minimi quadrati, Interpretazione del coefficiente angolare della retta di regressione, Interpretazione del coefficiente di determinazione8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Derivazione degli stimatori dei minimi quadrati
Interpretazione del coefficiente angolare della retta di regressione
Interpretazione del coefficiente di determinazione
Verifica delle ipotesi del modello tramite l'analisi dei residui
Test di significatività del coefficiente angolare
Intervallo di confidenza per il coefficiente angolare
Intervallo di previsione per un nuovo valore della risposta
Esempio numerico di regressione lineare semplice
20
ANOVA e test non parametriciConfronto tra più medie con l'analisi della varianza a una via, Logica della scomposizione della devianza nell'ANOVA, Interpretazione della statistica F8 sezioni — apri per vederle
p. 3–2
Confronto tra più medie con l'analisi della varianza a una via
Logica della scomposizione della devianza nell'ANOVA
Interpretazione della statistica F
Test Chi-quadro di indipendenza su tabelle di contingenza
Quando preferire un test non parametrico a un test parametrico
Test di Mann-Whitney come alternativa non parametrica al confronto tra due medie
Test di Wilcoxon per dati appaiati
Test di Kruskal-Wallis come estensione non parametrica dell'ANOVA
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